乐理--基础概念

转载写给理工科人看的乐理(一)声学基础

要学音乐,就得先学乐理。乐理就是音乐的理论,由很多非常精妙的物理、数学和逻辑原理构成的。然而乐理书籍皆非理工科人所写,在我等看来实在是定义不明,论述不清。本系列文章将尝试使用公理化的方式来描述,尽可能对每一个概念和方法都追根溯源。

乐理的基本内容包括:和声、调式、节奏、结构、曲式。这些内容相互联系交织,单独研究其中任何一部分都不可能。为了给理工科人找一个突破口,本文将从音乐的基本物理原理开始,逐步展开各种概念。我们拒绝以未知解释未知。

在学习乐理之前我们先要了解一些基本概念。


基本概念

最普通最基本的声波就是简谐振动所产生的正弦波了。传统乐器一般都依靠简谐振动发声,比如琴弦、簧片、鼓面等,因此发出的也是正弦波。

以某个固定频率进行简谐振动所产生的声波称为纯音,比如音叉的声音或 220HZ 的正弦波。但世界上并不存在绝对的纯音,就像世上没有绝对的化学单质一样。只有由电声设备发出的纯音可以看作非常近似的纯音,座机电话拿起听筒听到的声音就是近似的纯音。与纯音相对的就是复合音,它由多个纯音组合而成,而音乐就是由大量不同的复合音构成的。

复合音的产生方式有无穷多种,但有两种在音乐中最为常见:一种称为谐波叠加,一种称为拍音叠加。


谐波

我们将一个标准的正弦波作为基准,称作基波。谐波就是比基波的频率高整数倍的波,钢琴按下一个键或小提琴拉响一根弦都会在基波的基础上产生多个谐波,音乐人往往将谐波称为“泛音”。例如某个纯音声波的频率是 f,将此纯音作为基波,其谐波的频率可为 2f、3f、4f、……,这些谐波分别称为二次谐波、三次谐波、四次谐波等。如下图所示:

基波与谐波的关系

上图中最上面的是基波,从第二行往下分别是一次谐波、二次谐波等等。若一个复合音由基波及其谐波相叠加构成,则称该复合音为谐波叠加,它的频率为基波频率。基波与谐波叠加构成复合音的过程见下图:

基波与谐波复合构成复合音

实际上,所有传统乐器所发出的音都是复合音,由振幅最大的基波和一系列振幅较小的谐波叠加构成。那么我们就可以给出单音的定义了:单音特指单一乐器演奏独立的一个音发出的声波(谐波叠加),其基波的频率称为音高。不同乐器的单音所叠加的谐波在频率和振幅上都不相同,因此乐器的音色千差万别。小提琴的单音就是典型的一种谐波叠加。

由于每种乐器都有其特别的构造,因此合成一个单音的各个谐波的振幅之比也因乐器而不同。此外,乐器本身的共振所产生的音也混杂于其中,因此不同乐器奏出相同的音高,音色却具有巨大差别,可以让我们轻易分辨。


拍音

拍音是另一种复合音,它是由来自同一种乐器或不同乐器的两个单音相互叠加,形成具有规律性强弱变化的振动。与谐波不同的是,拍音一般要求这两个音的振幅相近,但不要求频率为倍数关系。

由于单音本身就由纯音叠加而来,再将单音相互叠加,情况将会变得非常复杂。因此为方便描述,下文将以纯音的叠加来解释拍音的形成。下图中黄色、红色和蓝色的波型分别为频率 200Hz,250Hz 和 300Hz 的纯音。黄色与蓝色两纯音叠加形成绿色的拍音波形,黄红蓝三纯音叠加形成黑色的拍音波型。

拍音的形成过程

分析可知,每当两个单音的波峰相遇就形成拍音的波峰,波谷相遇就形成拍音的波谷,这样的复合音从波型看起来存在周期性的振幅变化,像节拍一般,因此称为拍音。拍音的频率与叠加的两个单音的周期(频率的倒数)的比值相关,如果两个单音的频率都是整数,那么拍音的频率就等于它们周期最小公倍数的倒数。

频率相差一倍的两个单音叠加形成的拍音,其频率等于较低的音的频率,这样的拍音听起来就像一个音。

如果两个单音中至少有一个是无理数,那么拍音的情况就要复杂一些了。此时两个单音的波峰永远不会相遇,波谷亦然,只会出现非常接近的情况。如果两个波的波峰以一个近似的周期 s 相互靠得很近,那么不太精确的人耳就会“认为”这两个单音的叠加形成了频率为 1/s 的拍音。我们举例子来说明,比如单音 a 的频率 $f_a=\sqrt{3}$,单音 b 的频率 $f_b=\sqrt{5}$,它们的周期分别为 $s_a=1/f_a$,$s_b=1/f_b$,它们的波形如下图所示:

频率为 \sqrt{3} 的波形(橙)与频率为 \sqrt{5} 的波形

无论是看起来还是理论分析,这两个波的波峰永远不可能相遇。下面我们把这两个波进行叠加:

两个波叠加形成的波形

波叠加后形成了周期近似为 $3 \times s_a \approx 4 \times s_b$ 的拍音。这是因为 $\sqrt{3} / \sqrt{5} \approx 0.7746$,接近于 0.75,也就是 3:4。因此这个拍音的“听感频率”大约为 $\sqrt{5} / 4$ 到 $\sqrt{3} / 3$ 之间。


总结

  1. 纯音:以某个固定频率进行简谐振动所产生的声波;
  2. 复合音:由多个纯音组合而成,在音乐中两种最为常见——谐波叠加与拍音叠加;
  3. 基波:一个标准的正弦波作为基准;
  4. 谐波:比基波的频率高整数倍的波,音乐人也称谐波为泛音;
  5. 单音:特指单一乐器演奏独立的一个音发出的声波(谐波叠加),其基波的频率称为音高;
  6. 拍音:由来自同一种乐器或不同乐器的两个单音相互叠加,与谐波不同的是,拍音一般要求两个音的振幅相近,但不要求频率为倍数关系。

音乐分享

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参考阅读

写给理工科人看的乐理(一)声学基础

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